球面到其自身的映射如果其dilatation严格小于2, 则其度为1,0,-1之一.
设 $f:S^n\rightarrow S^n$ 的 dilatation 严格小于 2, 即 $\text{dil}(f)<2$, 则 $\deg(f)\in\{1,0,-1\}$.
Remark: 条件 $\text{dil}(f)<2$ 不能放宽至 $\text{dil}(f)\leqslant 2$. 因为存在这个一个映射 $f:S^3\rightarrow S^3$, $\text{dil}(f)=2$, 但是 $\deg(f)=4$. 见问题230
Reference:
R. Osserman, Isoperimetric inequalities, Bull. Am. Math. Soc., 84 (1978).
进一步关于球面上的结果参见
- H. Hefter, Über die Dehnung von Sphärenabbildungen, Bonner Math. Schriften (1980).
- R. Oliver, Über die Dehnung von Sphärenabbildungen, Inv. Math., 1 (1966), 380-390.